[0018] 本发明针对水电系统频率非线性特性这个问题，提出了利用改进的非线性变换，将高阶多振荡频率的水电系统在变换空间分解为解耦的多振荡系统，保留一定阶数的非线性特性，从而可以研究各个振荡频率的非线性特性。
[0019] 本发明方法具体步骤是：
[0020] 步骤一：建立水电系统包含弹性水击的高阶非线性数学模型：
[0021]
[0022] X是包含N个状态变量的列向量，F为非线性函数映射。假设平衡点为原点，如果不是原点，可进行坐标平移。
[0023] 步骤二：得到水电系统特征值，左特征向量V、右特征向量U，海森矩阵H，并得到泰勒级数展开式：
[0024]
[0025] 其中，A是雅可比矩阵，Ai(X)是A中对应第i行列向量。
[0026] H为海森矩阵：
[0027] Hi为海森矩阵第i行列向量。H.O.T为状态变量X的3阶及以上高阶表达式。
[0028] 步骤三：对式(2)进行式(3)所示线性变换：
[0029] X＝U·Y (3)
[0030] 得到Y空间表达式:
[0031]
[0032] 第j行方程表达式为：
[0033]
[0034] Y是线性变换后的新的N维空间变量。λj是矩阵A的第j个特征值，H.O.T1为状态变量Y的3阶及以上高阶表达式。
[0035] 步骤四：提出改进非线性变换方法 ，它是利用一系列非线性变换构成整个非线性变换H；H为非线性变换，Hk为第K
次非线性变换。
[0036]
[0037] 对Y空间系统先进行H1非线性变换，得到Z(1)空间表达式，然后进行H2非线性变换，(2)得到Z 空间表达式，一直进行，直到进行Hk非线性变换，得到Z空间表达式。K表示进行非线性变换的次数，它的取值根据精度要求确定。
[0038] 每次Hk非线性变换，我们可以得到(6)
[0039]
[0040] zzi-1和zzi是共轭特征值λ2i-1和λ2i对应的变量。b2i-1,αβ是变换空间第2i-1个方程中zαzβ项的二阶系数。b2i-1,αβ…ρ变换空间第2i-1个方程中zαzβ…zρ项的系数，其中与zzi-1和zzi相关的系数叫做自作用模式系数，其他的系数叫做互作用模式系数，另外根据精度要求每次保留K次项。
[0041] 其中：
[0042]
[0043] i为振荡模式标号，zzi-1和zzi是变换空间振荡模式i对应的两个变量，λzi-1和λzi是振荡模式i对应的两个特征值。μzi-1,intra,αβ···ρ为变换后与空间振荡模式i对应变量zzi-1和zzi相关项的自作用系数。
[0044] 与正则形法只保留线性项不同的是，本发明每次变换后的方程定义与某一振荡模式相关的两个变量的自作用振荡模式系数保留，而与其他振荡模式的相关的互作用系数忽略，以便将非线性系统振荡模式解耦，并保留一定的非线性。
[0045] 非线性变换H函数的系数构造方法现说明如下：
[0046] 针对已经线性变换的Y空间系统(4)，假设非线性变换函数为：
[0047] Y＝Z1+H1(Z1) (7)
[0048] 其中H1我们假设保留2阶项。对应H1中第2i-1和2个方程如下式所示：
[0049]
[0050] 将式(7)、(8)代入式(4),得到变换后的空间表达式，并保留K阶项，为：
[0051]
[0052] 如果不存在二阶谐振λα+λβ＝λi，通过式(7)让变换后空间方程式互相关系数消除为0，自相关系数为想要得到的值，则可得到H变换系数为：
[0053]
[0054]
[0055] 其h2i-1,inter,αβ中，为非线性变换H函数中互相关系数；h2i-1,inter,αβ是非线性变换H函数中自相关系数；b2i-1,inter,αβ是原非线性函数中互相关系数；λα、λβ、λ2i-1为对应变量z1,α、z1,β、z1,2i-1的特征值；b2i-1,intra,αβ是原非线性函数中自相关系数；μ2i-1,intra,αβ为变换后空间方程式对应的自相关系数，如果希望变换前后自相关系数不变，则h2i-1,inter,αβ＝0。
[0056] 举例说明：
[0057] 对(12)所示的非线性微分方程，
[0058]
[0059] Z1和Z2是两个状态变量。b111、b112、b122、b211、b212、b222为非线性微分方程系数。
[0060] 采用(13)所示的2阶非线性变换z＝H(U)：
[0061]
[0062] 将(13)代入(12)，为了让变换后互作用模式系数为0，可得
[0063]
[0064] 为了让变换后二次项与变换前相同，尽可能减少二次项误差，设定我们可以得到相应的非线性变换。
[0065] 步骤五：利用步骤四，最后得到变换Z空间方程：
[0066]
[0067] 其中Λ＝{λ1,λ2,…,λN}，Dj为维数为j的Zk变量的自相关系数。
[0068] 步骤六：考虑到变换后的空间方程为复数方程，通过线性变换，得到实数微分方程，此时不同振荡模式已经解耦，并保留了2阶非线性。
[0069]
[0070] 式中, zzi-1和zzi为H非线性变换后振荡模式i对应变量，z'zi-1和z'zi为线性变换后zzi-1和zzi对应变量。
[0071] 得到实数表示的方程，如(18)所示。
[0072]
[0073] 式中，υi10为变换后zzi-1项系数，υi0l为 项系数，υijl为 项系数。
[0074] 步骤七：在变换后的空间方程某一状态变量加扰动，得到每一振荡模式的响应。在该状态变量加不同的扰动值，根据频率的非线性定义 (Tu为扰动曲线上升这半个周期的时间，Tl为扰动曲线下降这半个周期的时间)，从而得到该频率的随扰动值的变化的非线性特性。
[0075] 采用本方法分析水电系统弹性振荡频率的非线性特性，比线性化方法的直接一般化具有更大的概念优势，比正则形和模态级数法保留了更多非线性特性，而且在变换空间实现了多个振荡模式的解耦，其结果既提供了系统的特征信息，又便于分析系统的各个振荡频率的非线性特性，为大规模电力系统的稳定性分析和控制系统的设计提供了新的思路。
