一种最优控制问题直接离散求解的网格重构方法   0    0

本发明公开了一种最优控制问题直接离散求解的网格重构方法。现有网格重构方法要么给出的时间数量太大或迭代次数过多导致优化计算非常耗时，要么无法保证离散精度从而使得优化结果不够理想，并且现有方法往往难以快速准确地找到系统的结构切换点。本发明方法不仅可以降低复杂最优控制问题直接离散求解变量规模，而且计算量较小，并且迭代次数少，较少的参数获得高质量的解。该方法适用大规模复杂动态优化问题的在线优化。本发明提出的最优控制问题直接离散求解的网格重构方法快速有效，不仅可以在满足精度要求的情况下最大限度地降低离散化非线性规划问题规模，降低迭代次数，而且可以快速准确定位到系统结构切换点。

1.一种最优控制问题直接离散求解的网格重构方法；其特征在于：基于伪Wigner‑Ville分布分析快速而有效的网格重构策略，用于复杂最优控制问题直接离散求解；首先给定网格进行第一次优化迭代，快速获得控制变量的大致轨迹；然后通过伪Wigner‑Ville分布分析得出不同时间网格节点瞬时频率变化对性能指标的影响，籍此对原有网格节点进行重构，包括对时间节点的消除、细化；并且结合变时间节点控制向量参数化方法的思想，将瞬时频率为极大值时对应的时间节点作为待优化参数，与控制变量一同进行求解优化，从而找到准确的最优时间切换点；
包括以下步骤：(1)该方法首先根据经验给定初始时间网格数量，初始时间网格数为5～20个，目的为了快速获得控制变量的大致轨迹，为下次迭代提供良好的初值条件，提高求解速度；将最优控制问题根据初始网格数量离散化为非线性规划问题；(2)求解非线性规划问题，得到当前时间网格下的最优的控制参数和目标函数值；(3)将得到的控制参数根据时间顺序形成控制参数轨迹，对该轨迹进行伪Wigner‑Ville分析变换，得到控制参数轨迹的时频曲线；(4)根据规则对时间网格进行合并和细分，根据重要时间切换点的判断准则，筛选出需要优化的时间切换点；(5)判断是否满足终止条件，若满足，则输出重构后的时间网格；否则，转步骤(3)；
具体包括以下步骤：
步骤(1)：采用基于控制向量参数化的直接法将式(1.1)～(1.7)所示的复杂最优控制问题离散为非线性规划问题，初始迭代次数l＝1；
x(t0)＝x0                                    (1.5)；
t0≤t≤tf                                    (1.7)；
其中J是目标函数，由终值项φ0[x(tf),tf]和积分项 组成，f[t,x(t),u
(t)]是微分方程，t为时间，t0和tf分别为起始时间和终端时间；u(t)是(n×1)维的控制变量，n大于1则表示u(t)为矢量形式的控制变量；x(t)是(m×1)维的状态变量，m大于1则表示x(t)为矢量形式的状态变量；m，n分别表示状态变量和控制变量的维数； 是x(t)的导数；
φr[x(tf)]表示关于终端状态x(tf)的末端性能函数，Lr[t,x(t),u(t)]是时间t、状态变量x(t)和控制变量u(t)的复合函数， 表示m1个等式约束；
表示m2个不等式约束；x(t0)＝x0是状态变量在起始时间的
初值，u和 分别是u(t)的下界和上界；
对于式(1.1)～(1.7)所示的复杂最优控制问题，首先将整个控制时域[t0，tf]均匀分成式(1.8)所示的N个时间子区间[ti‑1,ti]，其中i＝1,2,…,N，分段数N取值为5～20，目的是为了快速获得控制变量的大体轨迹，同时也为第二次迭代提供良好的初值；
t0＜t1＜…＜tN‑1＜tN＝tf                   (1.8)；
其中离散化后的时间节点ti都是固定值，其中i＝1,2,…,N；在整个控制时域上，n维的j
控制变量u(t)的第j维分量u(t)就可以由各个时间子区间的值近似表示为式(1.9)：
j
其中， 为控制变量u (t)在子区间[ti‑1,ti)的值，T[ti‑1,ti)为单位开关函数，被定义为式(1.10)：
在各个时间子区间内的控制变量 均由一系列基函数的线性组合来近似，即式(1.11)：
其中， 为Qi,j阶基函数， 为线性组合系数，称为控制参数；对函数 采用分段常量逼近策略，即分段零次多项式逼近策略，则有k＝Qi,j＝1，以及 式(1.11)可简化为式(1.12)：
是控制参数 的简化形式，是式(1.1)～(1.7)需要求取的优化变量；
由此便可将一无限维的动态优化问题(1.1)～(1.7)转换为一个含有限维的控制参数的非线性规划问题(1.13)～(1.19)，即:
x(t0)＝x0                     (1.17)；
t0≤t≤tf                     (1.19)；
步骤(2)：使用非线性规划求解技术求解式(1.13)～(1.19)的非线性问题，得到当前时间网格下的最优的控制参数 和目标函数值J，令Obj1＝J，其中非线性规划求解技术为已有成熟技术；Obj1表示当前时间网格下的最小目标函数值；
步骤(3):将得到的控制参数根据时间顺序形成控制参数轨迹，对该轨迹进行伪j
Wigner‑Ville分布分析变换，得到控制参数轨迹的时频曲线ω (t)，以及在时间点的ti‑1瞬j
时频率 其中ω (t)表示第j维控制参数轨迹对应的频率，i＝1,2,…,N，j＝1,2,…,n；
伪Wigner‑Ville分布变换技术是已有成熟技术；
步骤(4):进行时间网格精细化重构策略，重新划分时间网格以确保求解精度，本部分包括三个子步骤：
子步骤1):对于相邻的时间网格节点，找出其中瞬时频率变化比较小的进行网格合并；
j
对于相邻的时间网格[ti,ti+1]与[ti+1,ti+2]，如果控制变量u(t)在时间点ti、ti+1和ti+2对应的瞬时频率 满足方程(1.20)，则将时间网格[ti,ti+1]与[ti+1,ti+2]合并成一个网格[ti,ti+2]；
其中， 为消除系数，取值为0.1～0.5Hz； 为控制变量的变化系数，其取值满足如式(1.21)所示的规则：
合并后时间节点和瞬时频率都将被重新标记为式(1.22)：
合并后的时间网格数量记为N'；
子步骤2):根据瞬时频率的大小对时间网格进行细分，将网格均匀的划分为Δk个小区间，Δk的数目由以下式(1.23)所示经验规则决定；
其中 称为细化系数，取值由下式(1.24)决定：
其中 为控制变量的走势系数，取值由式(1.25)决定；
时间网格[ti‑1,ti]被细化分为Δk个小区间后的时间节点将被重新标记如式(1.26)：
式中 为再次重新标记后时间节点；经过以上网格细分后，新的时间网格数量记为令 将各个网格时间点表示为
子步骤3):对重要时间切换点实现精确定位，获得每个网格的最佳划分方式；根据步骤j
(3)经过控制参数轨迹进行伪Wigner‑Ville分布变换得到的时频曲线，找到控制变量u (t)j
对应的瞬时频率ω 存在极大值的时间点，若该时间点在时间网格[ti‑1,ti]内，则将ti作为一个待优化变量；令新的网格数 将控制参数 和所有满足以上条件的ti作为待优化变量，使用非线性规划求解技术重新求解式(1.13‑1.19)的非线性问题，得到当前时间网格下的最优的参数 和ti，以及新的目标函数值J，令Obj2＝J；Obj2表示当前时间网格下目标函数最小值；
步骤(5):如果l＝lmax或者(Obj1‑Obj2)/Obj1≤Tol，则迭代结束，得到的ti值为满足要求的最佳时间网格节点，得到的N为满足要求额最佳网格节点数量，得到的 表示在此网格划分下最佳的控制参数，也就代表最佳的控制量 Tol表示用户允许误差，取值在10‑4 ‑8
‑10 之间，lmax表示设定最大迭代次数，取值小于等于5；否则，如果(Obj1‑Obj2)/Obj1＞Tol并且l＜lmax，则置l＝l+1，然后转到步骤(3)。